Bài giảng Đại số Lớp 10 - Tiết 26: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức - Đỗ Thị Bích Thủy

 >  b  −  c 
Nhân vế với vế của hai bđt dương cùng chiều :  
a  >  b  ≥  0 và c  >  d  ≥  0 ac  >  bd. 
Lũy thừa bậc chẵn hai vế của bất đẳng thức :  
 a  ≥  0, b  ≥  0 và n   *, ta có a  >  b a 2n  >  b 2n 
Khai căn hai vế của bất đẳng thức :  
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi x ta có : 
x 2 > 2(x – 1) 
Ví dụ 2: Chứng minh nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì: 
 (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)  ≤ abc 
2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối . 
Với mọi a   , ta có : –| a|  ≤  a  ≤  |a | 
Với a  >  0, ta có : |x|  <  a –a  <  x  <  a 
Với a  >  0, ta có : |x|  >  a x   a 
Với a, b   , ta có : 
| a|  −  |b|  ≤  |a  +  b|  ≤  |a|  +  |b | 
BẤT ĐẲNG THỨC 
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Ví dụ 3: Cho x, y   , chứng minh 
|3  –  x  +  y|  +  |y|  +  |8  –  x|  ≥  5 
Giải. 
|3  –  x  +  y|  +  |y|  +  |8  –  x|  ≥  |3  –  x  +  y|  +  |y  +  8  –  x| 
	≥  |3  –  x  +  y|  +  |x  – 8  –  y| 
	≥  |3  –  x  +  y  +  x  – 8  –  y| 
	≥  |  – 5 | = 5 
BẤT ĐẲNG THỨC 
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
3. Bất đẳng thức Cauchy. 
Cho a  ≥  0 và b  ≥  0, ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
Hãy chứng minh bất đẳng thức trên . 
Phát biểu bằng lời bất đẳng thức trên . 
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương bất kỳ , chứng minh 
Giải . 
BẤT ĐẲNG THỨC 
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
3. Bất đẳng thức Cauchy. 
Hệ quả : 
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau . 
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau . 
	 Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau . 
Chứng minh : 
Giả sử hai số dương x, y có tổng x + y = S không đổi . 
Khi đó : 
Do đó , tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng 
khi và chỉ khi x = y. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
	 Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau . 
Chứng minh : 
Giả sử hai số dương x, y có tích xy = P không đổi . 
Khi đó : 
Do đó , tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
khi và chỉ khi x = y. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
Giải . 
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
với x > 0. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 
BẤT ĐẲNG THỨC 
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
3. Bất đẳng thức Cauchy. 
Mở rộng, cho ba số a  ≥  0, b  ≥  0, c  ≥  0, ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
Giải . Vì a, b, c là ba số dương nên : 
Ví dụ 6: Chứng minh nếu a, b, c là ba số dương thì 
Khi nào xảy ra đẳng thức . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Làm bài tập trong sách Đại số 10 nâng cao trang 109 và 110