Bài giảng Đại số và Giải tích Lớp 11 - Tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1 . 
Bước 2 : Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là 	 	 A(k) đúng ( Giả thiết quy nạp) 
t a phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh A(k+1) đúng . 
Vậy A(n) với 
n=1: A(1) đúng 
n=2 : A(2) đúng 
 A(n) đúng với mọi 
A(2 ) đúng 
 A(3) đúng 
 A(4) đúng  
I. Phương pháp quy nạp toán học 
Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau: 
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1 . 
Bước 2 : Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là 	 	 A(k) đúng ( Giả thiết quy nạp) 
t a phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh A(k+1) đúng . 
Vậy A(n) với 
II. Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi thì 
 (1) 
+) Với n=1, ta có 1) đúng 
+) Ta giả thiết (1) đúng với , tức là 
ta phải chứng minh (1) đúng với , 
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta suy ra 
Lời giải: 
nghĩa là phải chứng minh 
Vậy với mọi 
II. Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi thì 
 (2) 
+) Với n=1, ta có 2) đúng 
+) Ta giả thiết (2) đúng với , tức là 
ta phải chứng minh (2) đúng với , nghĩa là phải chứng minh 
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp (**) ta suy ra 
Lời giải: 
Vậy với mọi 
II. Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi thì 
 chia hết cho 3 ( 3 ) 
n 
So sánh 
P(n) 
Sai 
Sai 
Đúng 
Đúng 
Đúng 
R(n): 
Với điều kiện nào của n thì mệnh đề P(n) đúng? Hãy phát biểu mệnh đề đúng đó ? 
R’(n): 
II. Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi thì 
 chia hết cho 3 ( 3 ) 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi thì 
 (4) 
Chú ý 
Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau: 
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p . 
Bước 2 : Giả thiết A(n) đúng với n bất kỳ n = k tức là 	 A(k) đúng ( Giả thiết quy nạp) 
t a phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh A(k+1) đúng . 
Vậy A(n) với 
Củng cố 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Để chứng minh mệnh đề A(n) với ta thực hiện hai bước sau: 
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = 1. 
Bước 2 : Giả thiết A(n) đúng với n = k tức là 	 	 A(k) đúng ( Giả thiết quy nạp) 
t a phải chứng minh A(n) đúng với , tức là cần chứng minh A(k+1) đúng . 
Kết luận: Vậy A(n) với 
Hướng dẫn học ở nhà 
Xem lại các ví dụ. 
Làm các ví dụ trong SGK. 
Bài tập: 1,2, 3,4 – SGK trang 82, 83 
Chúc các thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt; chúc các em học sinh chăm ngoan, học giỏi!