Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Tiết 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giới hạn này có là đ iều kiện đủ của tính đơn đ iệu ? 
2.Điều kiện đủ của tính đơn đ iệu 
f(b ) – f(a ) 
b - a 
 f ’ ( c ) = 
Đ ịnh lý Lagrăng : 
 Nếu hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [ a;b ] 
 có đạo hàm trên khoảng ( a;b ) 
Th ì tồn tại c ( a;b ) sao cho f(b ) – f(a ) = f ’ ( c )(b – a) 
Hay 
A 
B 
y 
x 
O 
C 
a 
f(a ) 
b 
c 
f(c ) 
d 
 k d = f ‘ (c) 
f(b ) – f(a ) 
b - a 
 f ’ ( c ) = 
f(b ) – f(a ) 
b - a 
 k AB = 
ý nghĩa hình học của đ ịnh lý Lagrăng ( sgk ) 
A 
B 
y 
x 
O 
C 
a 
f(a ) 
b 
c 
f(c ) 
d 
Cho hàm số y = f(x ) tho ả mãn đ ịnh lý Lagrăng đ ồ thị ( C ) 
A ; B ( C ) = >  C (c; f (c) ) cung AB 
sao cho tiếp tuyến tại C // AB 
Đ ịnh lý 1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ). 
a)Nếu f ’ (x) > 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) đ ồng biến trên 
khoảng đ ó . 
b)Nếu f ’ (x) < 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) nghịch biến trên 
khoảng đ ó . 
Chứng minh 
a <x 1 < x 2 < b ta phải chứng minh f(x 1 ) < f(x 2 ) 
á p dụng đ ịnh lý Lagrăng 
tho ả mãn trên tập [x 1 ;x 2 ] 
>  c (x 1 ;x 2 ) sao cho 
f(x 2 ) – f(x 1 ) = f ’( c) (x 2 – x 1 ) 
Do f ’ (x) > 0 /( a;b ) => 
f ’ (x) > 0 / (x 2 –x 1 ) => 
f ’ (c ) > 0 lại do x 2 – x 1 > 0 
x 
O 
f(b ) 
b 
f(a ) 
x 1 
x 2 
f(x 1 ) 
f(x 2 ) 
y 
a 
=> f (x 2 ) > f (x 1 ) 
Đ ịnh lý 1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ). 
a)Nếu f ’ (x) > 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) đ ồng biến trên 
khoảng đ ó . 
b)Nếu f ’ (x) < 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) nghịch biến trên 
khoảng đ ó . 
Mở rộng 
Đ ịnh lý 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ). 
a)Nếu f ’ (x) 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) đ ồng biến trên 
khoảng đó.(Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn đ iểm ) 
b)Nếu f ’ (x) 0 với mọi x ( a;b ) th ì hàm số f(x ) nghịch biến trên 
khoảng đ ó .( Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn đ iểm ) 
Đ ịnh lý 2 đ ịnh lý 1 n t n? 
Lợi ích của đ ịnh lý đ iều kiện đủ mở rộng ? 
Ví dụ 1: 
Tìm khoảng đ ồng biến hay nghịch biến của hàm số sau 
y = x 2 – 4x +6 
Bài giải 
Tập xác đ ịnh : D = R 
Chiều biến thiên : 
y’ = 2x – 4 , 
Giải phương trình y’ = 0  2x – 4 = 0 x = 2 
Dấu y’ 
X 
2 
y 
- 
0 
+ 
Hàm số luôn luôn đ ồng biến trên khoảng ( 2 ;+ ) 
 Và nghịch biến trên khoảng (- ; 2) 
Ví dụ 2: 
Tìm khoảng đ ồng biến hay nghịch biến của hàm số sau 
y = x 3 – 3x 2 +6 
Bài giải 
Tập xác đ ịnh : D = R 
Chiều biến thiên : 
y’ = 3x 2 – 6x , 
Giải phương trình y’ = 0  3x 3 – 6x = 0 x = 0 v x = 2 
Dấu y’ 
X 
0 2 
y 
+ 
0 - 0 
+ 
Hàm số luôn luôn đ ồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2;+ ) 
 Và nghịch biến trên khoảng (0 ; 2) 
Ví dụ 3: 
Tìm khoảng đ ồng biến hay nghịch biến của hàm số sau 
y = - x 4 + 2x 2 +6 
Bài giải 
Tập xác đ ịnh : D = R 
Chiều biến thiên : 
y’ = - 4x 3 +4x , 
Giải phương trình y’ = 0  -4x 3 + 4x = 0 x = 0 v x = 1 
Dấu y’ 
Hàm số luôn luôn đ ồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2;+ ) 
 Và nghịch biến trên khoảng (0 ; 2) 
X 
- 
-1 
0 
1 
+ 
y 
- 
0 
+ 
0 
- 
0 
+ 
Ví dụ 4: 
Xác đ ịnh chiều biến thiên của hàm số : 
Bài giải : 
* Tập xác đ ịnh : D = (- ;0)(0;+ ) 
* Đạo hàm y’ = 
y’ = 0  x = 1 
X 
-1 0 1 
y 
+ 
0 - || - 0 
+ 
Hàm số đ ồng biến trên các khoảng (- ;-1) ;(1;+ ) 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) ;(0;1) 
Nêu Quy tắc xác đ ịnh chiều biến thiên của hàm số 
3.Điểm tới hạn. 
Đ ịnh nghĩa : Cho hàm số y = f(x ) xác đ ịnh trên khoảng ( a;b ) và 
 x 0 ( a;b).Điểm x 0 đư ợc gọi là một đ iểm tới hạn của hàm số f(x ) 
Nếu tại đ ó f ’(x) không xác đ ịnh hoặc x 0 là nghiệm của phương trình 
f ’(x) = 0. 
Qui tắc: 
Tìm tập xác đ ịnh của hàm số 
Tìm đ iểm tới hạn của hàm số 
xét dấu f ’(x) 
Kết luận về khoảng đ ồng biến , nghịch biến theo đ ịnh lý 
Bài tập về nh à. 
Từ bài 1 đ ến hết bài 4 sgk / Tr52 ,53