Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Tiết 11: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

trên (0;1) 
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x 3 +3x 2 -3x+2 
x - 0 1 + 
y’ + 0 - 0 + 
y - 1 0 + 
d)Bảng biến thiên 
 y’’=12x-6 ,y’’=0 x= 1/2 
e ) điểm uốn 
I(1/2;1/2) 
3) Đồ thị : y=0 (x-1) 2 (2x+1)=0 x=1 , x=-1/2. 
x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với 
trục hoành và . (0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung . 
Điểm uốn 
Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm 
đối xứng . Thật vậy : 
y =2x 3 -3x 2 +1 
Chú ý 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn có phương trình : 
Tịnh tiến hệ trục toa độ theo véctơ : , với 
 là hàm số lẻ trên R nên đò thị hàm số này nhận điểm I làm tâm đối xứng . 
Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x 3 +3x 2 -3x+2 
Giải : 
 2)Sự biến thiên : 
x - 1 + 
y’ - 0 - 
y 
+ 
- 
d)Bảng biến thiên 
c) Giới hạn : 
Đồ thị hàm số không có tiệm cận 
a) Chiều biến thiên : y ’ = -3(x 2 -2x+1) = -3(x-1) 2 y’ ≤ 0 
b) Cực trị : Hàm số không có cực trị 
 dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1 hàm số nghịch biến trên R. 
1) TXĐ : R 
y’’=-6(x-1) ,y’’=0 x=1 
 Đ.uốn 
I(1;1) 
e) điểm uốn 
3)Đồ thị : Giao điểm với trục Ox: (2;0) 
 Giao điểm với trục Oy : (0;2) 
Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1 
Chú ý: 
y 
x 
Tóm tắt : y =ax 3 +bx 2 +cx+d (a 0) 
Tập xác định R . 
Đồ thị luôn có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng . ( Chứng minh xem như bài tập ) 
y’= 3ax 2 +2bx+c . 
Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại 
và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau : 
a>0 
a<0 
Nếu y’ =0 có nghiệm kép , hàm số đơn điệu , tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành . Đồ thị có dạng 
sau : 
Nếu y’ =0 vô nghiệm , hàm số đơn điệu . Đồ thị có dạng sau : 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-5 
5 
10 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-5 
5 
10 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-5 
5 
10 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-5 
5 
10 
Đơn điệu 
y CĐ .y CT > 0 
Nhận Xét : y=ax 3 +bx 2 +cx+d (a 0) 
Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu : A(x CT ,y CT ), B(x CĐ ,y CĐ ) thì chia y cho y’ ta có : 
2) Số giao điểm của đồ thị và trục hoành : ( bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y =0). 
Số nghiệm 
Hàm số 
1 
2 
y CĐ .y CT =0 
3 
 y CĐ .y CT < 0 
 Do đó , y = α x+ β l à đường th ẳng đi qua hai đ i ểm c ực đại v à c ực ti ểu c ủa đồ th ị . 
y = y’(ux+v ) + α x+ β y CT = α x CT + β v à y CĐ = α x CĐ + β . 
2) Hàm số y =ax 4 +bx 2 +c (a 0) 
Ví dụ1 : Khảo sát hàm số : y= x 4 -2x 2 -3 
1) Tập xác định : D= R , hàm số chẳn 
2) Sự biến thiên : 
a) Chiều biến thiên : y’=4x 3 -4x , y’ = 0 x=-1,x=0,x=1 
y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+ ) , y’ < 0 trên (0;1) và (- ;-1) 
b) Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1,y CT = -4 và 
đạt cực đai tại x = 0 , y CĐ = -3. 
c) Giới hạn : 
Đồ thị không có tiệm cận : 
hambac4.gsp 
x - -1 0 1 + 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y + -3 + 
 -4 -4 
e) Tính lồi lõm , điểm uốn : 
y’’=12x 2 -4 , y’’ = 0 
x - + 
y’’ + 0 - 0 + 
ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm 
( ;-32/9) 
( ;-32/9) 
d) Bảng Biến Thiên : 
3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại 
(0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm 
8 
6 
4 
2 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-5 
5 
10 
y=a 
x 
4 
+b 
x 
2 
+c 
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số : 
Giải : 
TXĐ : D=R , hàm số chẳn . 
Sự biến thiên : 
a)Chiều biến thiên : y’=-2x 3 -2x=-2x(x 2 +1)=0 x=0. 
Y’ > 0 trên (- ;0) , y’ < 0 trên (0;+ ) 
b) Cực trị : Điểm cực đại x = 0; y CĐ =3/2. 
c) Giới hạn : 
 Đồ thị không có tiệm cận 
BBT 
x - 0 + 
y’ + 0 - 
y 
3/2 
- 
- 
e) Tính lồi lõm , điểm uốn : 
Y’’=-2(3x 2 +1) < 0  x R 
x - + 
y’’ - 
ĐồThị 
lồi 
3)Đồ thị 
Đồ thị nhận Oy làm trục đố xứng ; y = 0 x= 1 
ĐT cắt Ox tại (-1; 0) và (1;0) 
5 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
-8 
-6 
-4 
-2 
2 
4 
6 
8 
y=a 
x 
4 
+b 
x 
2 
+c 
Tóm tắt : y =ax 4 +bx 2 +c (a 0) 
y’=0 có 
3 nghiệm 
Phân biệt 
y’=0 có 
1 nghiệm 
a>0 
a<0 
Bài tập : 
1) Bài tập SGK 
2)Chứng minh đồ thị hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng . 
3) Cho hà