Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

p sau: 
Diện tớch hỡnh trũn bỏn kớnh R là: S = 4S’ 
trong đú S’ là diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số 
 và hai đường thẳng x = 0 và x = R. 
Ta cú: 
Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt. 
x = 0 thỡ t = 0; x = R thỡ t = /2 
Vậy S = 4S’ = R 2 
N1 
Quay lại 
Lời giải 
Xột đường trũn cú phương trỡnh: x 2 + y 2 = R 2 
x 
y 
N2 
+ Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là: 
+ Căn cứ vào hỡnh vẽ nhận thấy: Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là: 
S 2 = S 1 = 
y = x 2 
y = - x 2 
Vậy diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục, õm trờn đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là gỡ? 
Tiếp tục 
Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục, õm trờn đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
N3 
Quay lại 
N4 
Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
Quay lại 
x 
y 
Nhận xột: 
Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 
S = S 3 – S 4 
Vậy diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số 
y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng? 
Tiếp tục 
Từ kết quả của nhúm 3 và nhúm 4, tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: 
y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ? 
y = x 3 – 3x 2 + 6 
y = x 2 - 2x + 1 
Một số cụng thức cần nhớ 
a) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
b) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b 
Quay lại 
2. Một số vớ dụ 
Vớ dụ 1: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
y = x 3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. 
Lời giải: 
Đặt f(x) = x 3 – 1. 
Ta cú: f(x) ≤ 0 tr ờn [0;1] và f(x) ≥ 0 tr ờn [1; 2] 
Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là: 
y 
x 
y = x 3 - 1 
Vớ dụ 2: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x 
Lời giải: 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x là: 
Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là: 
x 
y 
f 1 (x) =x 3 – 3x 
f 2 (x) =x 
3. Bài tập vận dụng 
Thực hiện H1 và H2 trong sỏch giỏo khoa! 
H1 : Tỡm diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x 2 , đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. 
H2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x 2 + x - 2 
H1 : 	 Giải : 
Đặt f(x) = 4 – x 2 , f(x) ≥ 0 tr ờn [0; 2] và f(x) ≤ 0 tr ờn [2; 3] nờn: 
H2 : 	 Giải : 
PT hoành độ giao điểm: x 2 + x - 2 = x + 2 x = -2; x = 2. Vậy: 
Chỳ ý: + Để khử dấu giỏ trị tuyệt đối trong cụng thức: 
• Giải phương trỡnh f(x ) – g(x ) = 0 trờn đoạn [a; b], giả sử pt cú cỏc nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b). 
 Trờn từng đoạn [ a;c ], [ c;d ], [ d;b ] thỡ f(x ) – g(x ) khụng đổi dấu . 
 Trờn mỗi đoạn đú, chẳng hạn trờn đoạn [c; d], ta cú: 
Ta thực hiện như sau: 
Củng cố: 
- Ghi nhớ cỏc cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng. 
- Bài tập đề nghị: 
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: 
 y = x 2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6. 
y = x 2 - 4x + 3 
y = -2x + 2 
y = 2x - 6 
y 
x