Bài giảng Hình học Lớp 12 - Tiết 12: Khái niệm về mặt tròn xoay - Đào Thị Hương Hoa

ặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O gọi tắt là mặt nón. 
góc 
Vậy muốn có mặt tròn xoay ta phải 
có các yếu tố cố định nào? 
d 
O 
o 
M 
I 
MÆt xung quanh 
cña h×nh nãn 
2. HÌNH NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN TRÒN XOAY 
a. Hình nón tròn xoay 
Cho tam giác OIM vuông tại I 
 Khi tam giác đó quay xung quanh cạnh OI 
+ Cạnh IM quay quanh trục OI tạo thành mặt đáy của hình nón. 
Thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. 
+ Cạnh OM quay quanh trục OI tạo nên mặt xung quanh của hình nón 
O 
I 
M 
I 
M 
o 
§¸y cña h×nh nãn 
O 
I 
M 
Chiều cao 
Đỉnh 
Đường sinh 
O 
I 
A 
B 
O : là đỉnh của hình nón. 
OI : Chiều cao của hình nón 
OM : đường sinh của hình nón 
Như vậy, hình nón sinh bởi tam giác vuông OIM khi quay xung quanh cạnh góc vuông OI có 
Hãy phân biệt 
với khái niệm mặt tròn xoay? 
C¾t mÆt nãn bëi mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc cña nã th× thiÕt diÖn lµ h×nh g×? 
C¾t mÆt nãn bëi mÆt ph¼ng ®i qua ®Ønh cña nã thiÕt diÖn lµ h×nh g×? 
C¾t mÆt nãn bëi mÆt ph¼ng ®i qua trôc cña nã th× thiÕt diÖn lµ h×nh g×? 
A 
B 
B’ 
A’ 
A 
B 
O 
A 
B 
O 
b. Khối nón tròn xoay 
 Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó còn gọi tắt là khối nón. 
 Điểm ngoài của khối nón : là những điểm không thuộc khối nón 
 Điểm trong của khối nón : là những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón. 
M 
B 
O 
I 
A 
E 1 
E 3 
E 4 
E 2 
Điểm trong 
Điểm ngoài 
 Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng 
 Đỉnh 
Mặt đáy 
đường sinh 
O 
d 
M 
B 
O 
I 
A 
Phân biệt : Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay 
Khối nón tròn xoay 
Hình nón tròn xoay 
Mặt nón tròn xoay 
O 
I 
M 
R : là bán kính đường tròn đáy 
 : là độ dài đường sinh 
O 
I 
M 
3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay 
R 
S tp = S xq + S đáy 
 = 
a. Hình chóp nội tiếp hình nón 
b. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón . 
S 
O 
A 1 
A 4 
A 5 
A 3 
A 2 
A 6 
O 
I 
M 
Lg : 
S tp = S xq + S đáy 
 = 
a 
Ví dụ 1 : 
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính Sxq, Stp của hình nón tròn xoay đó. 
30 0 
Ta có : OM = 2a 
S xq = 
b. Thể tích khối nón tròn xoay 
h : là chiều cao của khối nón 
R : là bán kính đường tròn đáy 
O 
I 
M 
R 
h 
O 
I 
M 
a 
30 0 
h 
Ví dụ 1 : 
Tính thể tích khối nón ? 
Lg : 
Ta có : 
Vậy khối nón tròn xoay có thể tích là : 
CỦNG CỐ 
 Nắm được sự tạo thành mặt tròn xoay, mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay. 
 Nắm được các yếu tố có liên quan : đỉnh, trục, đường sinh, mặt đáy, mặt xung quanh. 
 Phân biệt được các khái niệm : mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay. 
 Biết tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay. 
VÝ dô 2 
C¾t mét mÆt nãn bëi mét mÆt ph¼ng ®i qua trôc cña nã ta ®­îc thiÕt diÖn lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh 2a. TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn ®ã vµ thÓ tÝch cña khèi nãn t­¬ng øng 
O 
C 
B 
A 
O 
d ’ 
Cho một đường thẳng d’,điều kiện để d’ thuộc mặt nón là gì ? 
Ta phải cm d’cắt đường thẳng cố định tại một điểm cố định , và tạo với đường cố định một góc không đổi , khi đó d’ là đường sinh của mặt nón 
VD1 
Cho hai ®iÓm A,B cè ®Þnh vµ AB=20 mét ®­êng th¼ng d di ®éng lu«n ®i qua A vµ c¸ch B mét kho¶ng h=10.C/m d lu«n n»m trªn mÆt nãn trßn xoay 
BG: Gäi lµ gãc gi÷a AB vµ d 
VËy d ®i qua A t¹o víi AB mét gãc kh«ng ®æi nªn d n»m trªn mÆt nãn ®Ønh A,nhËn AB lµm trôc,gãc ë ®Ønh 60 0 
Ta phải cm d cắt đường thẳng cố định tại một điểm cố định , và tạo với đường cố định một góc không đổi , khi đó d là đường sinh của mặt nón 
A 
B 
H 
d 
10 
20 
Khi đó ta có, trong tam giác vuông AHB