Bài giảng Hình học Lớp 12 - Tiết 25: Hệ tọa độ trong không gian - Trần Trọng Tiến

ng hình hộp OM 1 M’M 2 .M 3 M’’’MM’’ 
 Khi đó OM 1 , OM 2 , OM 3 cùng phương 
 với các vectơ i , j , k . Khi đó ta có 
M’’ 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M 2 
O 
y 
x 
z 
M 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
2. Toạ độ của điểm 
O 
y 
x 
z 
M 
M 2 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M’’ 
Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ ý. Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho 
Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có duy nhất một điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức 
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và viết: 
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy). (0yz), (0xz) 
là các điểm M 1 (x; 0; 0), M 2 (0; y; 0), M 3 (0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z). 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
2. Toạ độ của một điểm 
M 2 
 M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
O 
y 
x 
z 
M 
M’ 
M 1 
M 3 
M’’’ 
M’’ 
3. Toạ độ của vectơ 
Trong không gian Oxyz cho a . Khi đó tồn tại duy nhất một bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) 
Ta gọi bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) đó là toạ độ của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) hoặc a(a 1 ;a 2 ;a 3 ). 
Nhận xét. Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM. 
Ta có M=(x; y; z)  OM = (x; y; z) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
2. Toạ độ của một điểm 
 M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 
3. Toạ độ của vectơ. 
Hoạt động 2 . Trong toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ tự cùng hướng với i , j , k có AB=a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véctơ AB , AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh C’D’. 
Giải 
A 
y 
x 
z 
C’ 
D’ 
C 
B 
A’ 
B’ 
D 
M 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vectơ. 
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 
Chứng minh 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vectơ. 
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 1. Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
Giải 
Do ABCD là hình bình hành khi đó ta có: 
A 
B 
C 
D 
Vậy D = (2; 4; 4) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vectơ. 
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 2. 
Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. 
Giải 
=> AB , AC cùng phương hay A, B, C thẳng hàng. 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Hệ toạ độ trong không gian 
I. Toạ độ của điểm và của véctơ 
 M= (x; y; z) 
II. BTTĐ của các phép toán vectơ. 
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3 
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1) . Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M. 
Giải 
Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta có 
Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) 
Trần Trọng Tiến 
Đình Lập 
Củng cố 
Qua bài học học sinh cần nắm được 
Hệ toạ độ trong không gian. 
Toạ độ của vectơ. 
Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu của một điểm trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ. 
Các phép toán về vectơ. 
Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phương pháp tìm toạ độ của một điểm qua phép đối xứng tâm.